Durağanlığın Birim Kök (Unit Root) testi ile sınırlanması
DURAĞANLIĞIN BİRİM KÖK (UNIT ROOT) TESTİ İLE SINANMASI
Durağanlığın sınanmasının son zamanlarda yaygınlaşan bir yolu Birim Kök sınamasıdır. Bu sınamaya göre[1];
Yt= Yt -1 + et
Yt= t döneminde y değeri
Yt -1 = t – 1 döneminde y değeri
et = ortalaması sıfır, varyansı değişmeyen, ardışık bağımlı olmayan, olasılıklı hata terimidir. Bu hata terimi “beyaz gürültü hata terimi” olarak anılmaktadır.
Yt - 1 in katsayısı 1’e eşitse birim kök sorunu, yani durağan olmama durumu söz konusu olmaktadır.
Yt= p. Yt -1 + et
P = 1 ise, Yt olasılıklı değişkenin bir birim kökü bulunmaktadır. Birim kökü olan zaman serisi, ekonometrisinde bir rassal yürüyüş olarak bilinmektedir. Rassal bir yürüyüş ise, durağan olmayan bir zaman serisi örneğidir.
Eğer bir zaman serisi (Y) durağan değil ise durağanlığa erişinceye kadar farkları (Δ=Yt-Yt-1) alınır. Daha sonra zaman serisinin, bu düzeyde Δ. dereceden bütünleşik olduğu söylenir ve Yt~I(Δ) ile gösteril
Birim kökü belirlemek için r’nun 1’e eşit olup olmadığını regresyon modelinde test etmemiz gerekir. Fakat regresyon modelinde katsayıların 0’a eşit olup olmadığını yani 0’dan farklı olup olmadığını test edebiliriz. Bu durumda r’nun 1’e eşit olup olmadığını test etmek için Yt=rYt-1+et ilişkisinden şu denklem elde edilebilir.
DYt=(r-1)Yt-1+et …………….....................................(3)
Burada DYt=Yt-Yt-1 dir.
d=(r-1) yazarsak, DYt=dYt-1+et eşitliğini elde ederiz. Bu eşitlikte d’nın sıfıra eşit olup olmadığını test edersek r’nun 1’e eşit olup olmadığını test etmiş oluruz. d=0 olduğunda,
DYt=Yt-Yt-1=et dir………………...................................(4)
Buradan DYt=et serisi, yani birinci fark durağan olacaktır. Çünkü et serisi (beyaz gürültü) durağandır. Böylelikle orijinal bir serinin birinci farkı durağan ise bu seriye birinci dereceden durağan (birinci dereceden bütünleşmiş) denir ve I(1) şeklinde gösterilir. Eğer bir seriyi durağan yapmak için iki defa fark almak gerekirse ikinci dereceden durağan (ikinci dereceden bütünleşmiş) denir, I(2) şeklinde gösterilir. d defa fark almak gerekirse d’ninci dereceden durağan (d’ninci dereceden bütünleşmiş) denir ve I(d) şeklinde gösterilir.
Bir serinin durağan olup olmadığını anlamak için birim kök testi şu şekilde yapılır. Hipotezimiz, Yt=rYt-1+et eşitliğine göre;
H0:r=1,
DYt=dYt-1+et eşitliğine göre;
H0:d =0 olup, durağan olmama durumunu ifade eder.
Bunun için uygulanan test Dickey-Fuller testi’dir. Bu testin % 1, % 5 ve % 10 önemlilik düzeylerine göre kabul-red sınırları (kritik değerleri) MacKinnon tarafından yapılmış olan Monte Carlo simülasyonları’na göre hesaplanmıştır. Bu değerlere MacKinnon Kritik Değerleri denilmektedir. Bilgisayar paket programı tarafından hesaplanan alışılagelmiş t istatistikleri bu hipotez testinde t (tau) istatistiği ya da Dickey-Fuller test istatistiği diye adlandırılır. Dickey-Fuller test istatistiğinin mutlak değeri, MacKinnon Kritik Değerleri’nin mutlak değerinden küçükse H0 hipotezi kabul edilir ve bu da serinin durağan olamadığını gösterir. Eğer Dickey-Fuller test istatistiğinin mutlak değeri, MacKinnon Kritik Değerleri’nin mutlak değerinden büyükse H0 hipotezi red edilir ve bu da serinin durağan olduğunu gösterir.
Eğer serinin orijinal hali durağan değilse, serinin birinci farkı alınır ve tekrar Dickey-Fuller testi uygulanır. Bu da durağan değilse serinin ikinci farkı alınır ve tekrar Dickey-Fuller testi uygulanır. Bu işlem seri durağan hale gelinceye kadar devam eder ve seri d’ninci farkında durağan hale geldiyse, o zaman serisi d’ninci dereceden durağandır ya da d’ninci dereceden bütünleşmiş denir.
[1] Ümit Şenesen, Gülay Şenesen, (Damodar N. Gujarati), “Temel Ekonometri”, Literatür Yayıncılık, 1999, İstanbul, s:718